Factorización

Factorización

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma). Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para algunos casos especiales, que son:

1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos.
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales.
4. Trinomio cuadrado perfecto.
5. Trinomio de la forma x²+bx+c
6. Trinomio de la forma ax²+bx+c.
7. Factor común.

Factor común

Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.

Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:

Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:

Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es una práctica que necesitamos tener clara para seguir avanzando en nuestro curso de Álgebra. Lo primero de todo es entender el concepto, saber qué significa la diferencia de cuadrados y cómo podemos ponerla en práctica. Por lo tanto, empecemos por el principio, la definición de diferencia de cuadrados.

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos a seguir para calcula la diferencia de cuadrados:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Factorización de una diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados está formada por una ecuación con dos términos: uno positivo y el otro, negativo. Ambos deben de ser raíces cuadradas exactas. Y lo que se hace es realizar una resta entre ellos. De ahí el nombre de factorización por diferencia de cuadrados.

Ejemplos de diferencias de cuadrados

¿Tienes claro ya qué es una diferencia de cuadrados? ¡Te dejamos aquí otros ejemplos para que lo tengas más claro!

Recuerda que tanto la diferencia de cuadrados como la factorización por diferencia de cuadrados te serán de gran utilidad para resolver problemas matemáticos y de álgebra en concreto.

Suma o diferencia de cubos perfectos

Recordamos de cocientes notables que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

De donde se deducen las siguientes reglas:

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. 

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Suma o diferencia de potencias impares iguales

Son las expresiones de la forma a^n+b^n  ó  a^n-b^n, donde “n” es un número impar, y su descomposición factorial se presenta de las formas siguientes:

La cantidad de términos del segundo factor será igual al número del exponente de las potencias.

Cuando es suma de potencias el primer factor es la suma de sus raíces y en el segundo factor, el signo entre los términos se va alternando.  El primer término será positivo, el segundo negativo, el tercero positivo, así sucesivamente hasta el último término.

Cuando es diferencia de potencias el primer factor es la diferencia de sus raíces y en el segundo factor el signo entre los términos será positivo para todos.

Procedimiento:

1) Extraer las raíces de las potencias del binomio

2) Sustituir los valores de las raíces en la fórmula respectiva.

3) Desarrollar y simplificar las operaciones para llegar a la solución.

Recordar que: toda potencia elevada al exponente 1 (x^1) es igual a la base “x” ; y que toda potencia elevada al exponente 0 (x^0) es igual a la unidad (1).

Ejemplo:

 Factorizar la expresión 

> Extrayendo la raíz de los términos de las potencias:

    y   

> Sustituyendo el valor de las raíces en la fórmula:

> Desarrollando y simplificando las operaciones para llegar a la solución:

  Solución.

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

• Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().

• Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

• Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino .

2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el  segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el  segundo término del segundo factor binomio.

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. 

En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo.

Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este numero en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos  que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica.  Así:

En el cuarto ejemplo se observa que el termino “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta   y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos.

Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios , solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.

Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado () se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).  Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1. Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a” de la manera .

2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino  la que seria “ax”.

3. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios.