Expresiones racionales

Definición:  Una expresión racional es una de la forma
donde  son polinomios y .   Al igual que en las fracciones numéricas, al polinomio p(x) se le llama el numerador y al polinomio q(x) se le llama el denominador. 

Ejemplo:     

	x es el numerador
	x 2 - 1 es el denominador

La expresión racional del ejemplo no está definida para los valores donde x es igual a -1 ó 1.

Simplificación de expresiones racionales.

Una expresión racional de polinomios está expresada en su forma más simple si no hay factores en común entre los polinomios del numerador y del denominador.

Ejemplos 

 

	Está en su forma más simple.
	No está en su forma más simple.  El factor  es común al numerador y denominador.

 

Para simplificarla debemos factorizar el numerador y el denominador.  Luego cancelamos los factores comunes.  Pasamos a ilustrar el procedimiento descrito.

Paso 1:  Expresión racional a ser simplificada
Paso 2:    Ilustración de la factorización del numerador y el denominador y del factor común
Paso 3:  Expresión simplificada luego de cancelar factor comunes.

Sumas y Diferencias

En la lección de Operaciones con Fracciones, vimos cómo sumar y restar fracciones numéricas. El mismo método se utiliza para sumar y/o restar expresiones racionales de polinomios. Los denominadores tienen que ser iguales. 

  Luego de que esa condición se satisface procedemos a sumar y/o restar las expresiones en el numerador y ese resultado es el numerador de la suma.  El denominador de la suma es el denominador común a todas las expresiones racionales.  Pasamos a ilustrar ese procedimiento con varios ejemplos.

Ejemplo 1:  Las expresiones racionales tienen el mismo denominador.

Resuelva  

Paso 1:  Se suman y/o restan todos los numeradores y se escribe sobre el denominador común.

Paso 2:  Observe que el signo de resta antes del paréntesis le cambia el signo a todos los términos dentro de éste.

Paso 3:  Sumamos y/o restamos los términos semejantes en el numerador.

Para efectuar la suma y/o resta en este caso debemos buscar el denominador común siguiendo el procedimiento:

·       Halle la factorización de cada uno de los denominadores

·       Tome el producto de todos los factores distintos que aparezcan considerando la potencia más alta

Ejemplo:  Halle el denominador común de las fracciones 

Paso 1:  Factorice cada denominador
Paso 2:  Denominador común

Ejemplo 2:  Las expresiones racionales tiene denominadores distintos

Resuelva  

Paso 1:  Hallar denominador común
Paso 2:  Determine expresiones racionales equivalentes a las dadas
Paso 3:  Sumar los numeradores

Multiplicación

La multiplicación de expresiones racionales es un procedimiento más sencillo que las operaciones de suma y de resta.  Igual que multiplicar fracciones numéricas que vimos en la lección de Operaciones con Fracciones, para multiplicar expresiones racionales multiplicamos sus respectivos numeradores y sus respectivos denominadores.  Veamos un ejemplo.

Ejemplo:

En los casos en que las expresiones racionales que vamos a multiplicar no estén simplificadas, es conveniente simplificar antes de efectuar la operación. 

Ejemplo

División

Igual que dividir fracciones numéricas que vimos en la lección de Operaciones con Fracciones, la división de expresiones racionales consiste en multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.  Veamos un ejemplo.

Ejemplo