Ecuaciones Cuadráticas

Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Usando la Fórmula Cuadrática

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica y luego resolvemos x, encontramos que .  Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .

Derivando la Fórmula Cuadrática

Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:

·         Empezar con una ecuación de la forma .

·         Reescribir la ecuación de forma que  quede despejada.

·         Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

·         Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.

Ejemplo
Problema	Completar el cuadrado de  para obtener la fórmula cuadrática.
			Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de  sea 1
			Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma  (aunque en este caso bx es ).
			Sumar  a ambos lados para completar el cuadrado
			Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
			Evaluar como .
			Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
			Sumar las fracciones de la derecha
			Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
			Restar  de ambos lados para despejar x.
			El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces .
			Sumar las fracciones ya que tienen un común denominador
Solución

Y ahí la tenemos, la fórmula cuadrática.

Resolviendo una Ecuación Cuadrática usando la Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en su forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes pasos:

·         Primero transforma la ecuación a la forma estándar

·         Identifica los coeficientes, a, b, y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c están siendo restados.

·         Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula cuadrática

·         Simplifica lo más posible.

·         Usa el ± enfrente del radical para separar la solución en dos valores: uno en el que la raíz cuadrada se suma, y el otro donde la raíz cuadrada se resta.

·         Simplificar ambos valores para obtener las posibles soluciones.

Son bastantes pasos. Vamos a intentarlo:

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			a = 3, b = -11,  c = -4 Nota que la resta de signos significa que los coeficientes b y c son negativos
			Sustituir los valores en la fórmula cuadrática
			Simplificar, teniendo cuidado con los signos
			Simplificar más
			Simplificar el radical: .
	o		Separar y simplificar para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Nota que en una, 13 es sumado y en la otra, 13 es restado
Solución	x = 4 o

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son los valores donde la parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de la función  y ver que las raíces son (4, 0) y (, 0).

El ejemplo anterior muestra una ecuación cuadrática con dos soluciones. A continuación tenemos un ejemplo con una solución. Compara los radicales simplificados de los dos ejemplos:

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			Restar 6x de cada lado y sumar 16 a ambos lados para transformar la ecuación a su forma.
			Identificar los coeficientes a, b, y c. x2= 1x2, entonces a = 1. Como 8x está siendo restado, b es negativo. a = 1, b = -8, c = 16.
			Aplicar la fórmula cuadrática
			Simplificar
			Como la raíz cuadrada de 0 es 0, y sumar o restar 0 dan el mismo resultado, existe sólo un valor posible
Solución	x = 4

Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función  tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.

Algo que debemos notar — la ecuación cuadrática  puede ser factorizada como . Entonces, a pesar de que la fórmula cuadrática nos dio la solución, hubiera sido más fácil factorizarla. Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática.